这套数学分析教材有以下几个创见.
第一,定义了赋范极限,它与一元函数极限一样,用相同的ε-δ语言来定义,所以具有相同的性质,它又将各种函数极限的定义,定积分、重积分、曲线积分与曲面积分的定义,曲线弧长与曲面面积的定义统一用赋范极限来定义,这使得学生更容易掌握定积分等较复杂的概念.
第二,重新叙述了极限的直观定义,给出了从极限直观定义到极限的数学定义间的直接转化过程,使学生更容易接受、理解和运用极限的定义.
第三,强调了无穷小量理论在极限理论中的核心地位,特别是给出了柯西准则与一致连续等较复杂概念的简洁的、便于理解或运用的无穷小量等价的定义.
第四,提出了微分多中值定理与局部单射定理和向量值函数的泰勒公式,使多元函数微分学有了基本完整的定理体系,使学生更容易掌握多元函数微积分中几个重大定理的证明.
第五,用函数语言给出了曲线、曲面、高维曲面的准确而严格的定义.
第六,给出了曲面面积的严格定义,结束了长期以来曲面面积无严格的数学定义的现状.
第七,用张量给出了多元泰勒公式简明易懂的表达式,由于张量是一类十分简单的多元函数,学生很容易初步掌握它.
第八,完整地叙述了康托尔的集合定义,用这个康托尔的集合定义,很容易指出罗素悖论和其他集合论悖论的逻辑错误所在.
第九,完整地叙述了集合论的公理系统.
本书原名《微积分学讲义》,由邝荣雨、薛宗慈、陈平尚、蒋铎、李有兰编著,1989年5月出版,本书第2版仍用原名,由邝荣雨、薛宗慈、陈平尚、李有兰修订,于2005年8月出版,本书第3版由郑学安、邝荣雨、刘继志修订,将上面9个创见写进教材,使得这套教材产生了某种质的飞跃,并更名为《数学分析》,于2010年10月正式出版,本书第4版将第3版中出现的各种差错及不足之处加以修订,保留并增强了第3版的创见与特色,由郑学安、薛宗慈、唐仲伟、陈平尚、刘继志修订.
本书前几版的主要编著者邝荣雨及编著者蒋铎、李有兰已仙逝,在此谨表纪念.
感谢北京师范大学数学科学学院领导对本书修订工作的支持,感谢北京师范大学出版社对本书修订与出版的支持.
北师范大数科学学院郑学安
2020-08-30
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