本书主要内容为线性代数、包括数与多项式，行列式，线性方程组，矩阵，线性空间，二次型，线性变换，空间分解，矩阵相似，欧空间和酉空间，双线性型；选学内容有正交几何与辛几何，Hilbert空间，张量积与外积等。内容较深厚，便于读者打下优势基础；观点较新，便于读者适应现代数学，还有若干介绍性内容，可作为高校数学、物理、计算机与电子信息等理工专业的教材，或供其他专业参阅，本书成书于作者长期在中国科学技术大学和清华大学讲授此课及从事代数学方面的研究工作，编写时参阅了国外若干著名教材，书中配有难易不等的丰富例题与习题，书后有答案与提示，附录，中英文名词索引，及参考书目。

此次再版重写了部分内容,使更易理解.也增写了新内容,并将全书分为三部分.

第Ⅰ部分,基础内容(第1~6章).可作为高校各专业的线性代数教材,讲授1学期(可略去第1章,适当介绍二次型).此次重写了矩阵的广义逆,增写了最小二乘法(参考内容).

第Ⅱ部分,深入内容(第7~9章).可作为高校理工科,如数学、物理、计算机科学与技术、电子信息与电气等学科的第2学期教材.此次将欧几里得和酉空间两章合并,改写了正交相似相抵.参考内容中,重写了模的分解,增写了群表示和特征(变换族),以及无限维空间.

第Ⅲ部分,选学内容(第10~12章).增加了两章: 正交几何与辛几何,Hilbert空间.都是欧几里得和酉空间的发展.前者的基域可以是任意域(例如二元域F2), “内积”可以是对称的,交错的,奇异(退化)的；而Hilbert空间即是无限维的完备的酉空间.这些内容在科学和技术的众多领域很重要,清华大学李大法教授等多次建议作者加以介绍.连同张量积和外积,此三章内容精简,宜作选读.一般不在基础课课内详讲,或仅作介绍.也可供有关人士参考.本书的第二，三部分也可用作一些高校高年级本科生和研究生的教材.

此外,应双语(包括海外)人士的建议,增写了英—中文名词索引以便于查阅.附录中增加了拓扑基础.还增加了一些习题.与本书配套编写了《高等代数解题方法》(清华大学出版社),给出了全部习题的分析解答,便于读者自学.

自本书出版以来收到众多反映,作者在此对各方支持深表感谢.此次再版参考了一些国内外文献(见参考书目),尤其是S. Roman, J.Weidmann, B. Jacob等的书,深表感谢.

现代数学,尤其是代数,对初识者往往暗显出挑战性.可它是如此的重要和美妙,令任谁都欲罢不能:

数学王子高斯(C.Gauss)有名言: “数学是科学之王,数论是数学的皇后”.

数学奇才、全才爱尔特希(P. Erds)说“数学乃是人类所从事的唯一一种永恒的活动”.

微分拓扑奠基人惠特尼(H. Whitney)说: “创造性的数学工作并非少数天才的特权,它可以是我们之中有强烈愿望和充分自主性的任何人的顺乎自然的活动”.

数论大家赛尔伯格(A. Selberg)感慨到: “我很同情非数学家,我觉得他们失去了一种最激动人心的、丰富的智力活动的回报”.他还指出, “今天的数学主要关心的是结构以及结构之间的关系,而不是数之间的关系.这种情况最初发生在1800年左右,首次的突破是抽象群概念的引入,目前它在数学领域中无所不在.”

法国大数学家嘉当(H. Cartan)指出: “我们目睹了代数在数学中名副其实的到处渗透”,“日益清楚的意识到代数概念在数学的几乎所有分支中所起的作用”, “随着目前数学的这种代数化,任何研究人员再也不能无视近世代数这一必不可少的工具了”.

我国古哲有言: “水之积也不厚,则其负大舟也无力.风之积也不厚,则其负大翼也无力.” “适千里者三月聚粮”.深厚的数学基础,对于科学的远行人,是载送航船的海水,是举托鹏翼的扶摇. “自强不息,厚德载物”，正是清华的校训和传统.校训源自《易经》中“乾”和“坤”的象传: “天行健,君子以自强不息”, “地势坤,君子以厚德载物”.它承传了古贤对宇宙万物的观历感悟,法乎天地,合于乾坤,成就了多少有志“君子”.引发“君子以自强不息”的“乾”的主文共六句话,可解释为对一事物(以“龙”指称)的发生—发展—兴盛—衰落过程的深刻辩证揭示, “君子”的人生尤其如此: 初潜勿用,次现宜行.中当自强,虽危无咎.进机或跃,勿须忧惧.德合天地,与时腾飞.高极必反,悔之未晚.我初中母校正好在青龙山山坡上,涧绕山环.去年50年校庆时应校长之令,写下《青龙颂》一诗.借题发挥,在此送给自强不息的青年“君子”:

青龙潜卧隐壑山,

夕惕若厉日乾乾.

或跃在渊咎何有,

数及九五飞在天.


作者

2003年5月于清华园

引言Ⅵ

再版引言Ⅸ

第Ⅰ部分基 础 内 容
第1章数与多项式3

11数的进化与代数系统3

*12整数的同余与同余类5

13多项式形式环8

14带余除法与整除性10

15最大公因子与辗转相除法12

16唯一析因定理15

17根与重根18

18C［X］与R［X］21

19Q［X］与Z［X］22

110多元多项式26

111对称多项式27

习题130
第2章行列式36

21排列36

22行列式的定义37

23行列式的性质40

24Laplace展开46

25Cramer法则与矩阵乘法49

26矩阵的乘积与行列式52

27行列式的计算54

习题262
第3章线性方程组69

31Gauss消元法69

32方程组与矩阵的秩72

33行向量空间和列向量空间75

34矩阵的行秩和列秩79

35线性方程组解的结构80

36例题83

*37结式与消去法86

习题390
第4章矩阵的运算与相抵95

41矩阵的运算95

42矩阵的分块运算97

43矩阵的相抵100

44矩阵运算举例103

45矩阵与映射110

*46矩阵的广义逆113

*47最小二乘法116

习题4118
第5章线性(向量)空间123

51线性(向量)空间123

52线性映射与同构127

53基变换与坐标变换129

54子空间的和与直和131

*55商空间135

习题5138
第6章线性变换143

61线性映射及其矩阵表示143

62线性映射的运算146

63线性变换147

*64线性表示介绍150

65不变子空间154

66特征值与特征向量157

67方阵的相似159

习题6164

第Ⅱ部分深 入 内 容
第7章方阵相似标准形与空间分解173

71引言：孙子定理173

72零化多项式与最小多项式176

73准素分解与根子空间179

74循环子空间187

75循环分解与有理标准形189

76Jordan标准形194

77λ\|矩阵与空间分解203

78λ\|矩阵的相抵与Smith标准形205

79三种因子与方阵相似标准形212

*710方阵函数220

*711与A可交换的方阵230

*712模及其分解234

713若干例题238

习题7240
第8章双线性型、二次型与方阵相合247

81二次型与对称方阵247

82对称方阵的相合250

83正定实对称方阵256

84交错方阵的相合及例题258

85线性函数与对偶空间260

86双线性型264

87对称双线性型与二次型266

*88二次超曲面的仿射分类268

*89无限维线性空间271

习题8273
第9章欧几里得空间与酉空间279

91标准正交基279

92方阵的正交相似283

93欧几里得空间的线性变换288

94正定性与极分解290

*95二次超曲面的正交分类293

96例题295

97Hermite型301

98酉空间和标准正交基306

99方阵的酉相似与线性变换307

*910变换族与群表示311

911型与线性变换318

习题9322


第Ⅲ部分选 学 内 容
第10章正交几何与辛几何333

101根与正交补333

102正交几何与辛几何的结构335

103等距变换与反射338

104Witt定理340

105极大双曲子空间342

习题10344
第11章Hilbert空间347

111内积与度量空间347

112内积空间与完备352

113逼近与正交直和354

114Fourier展开355

115等距同构于2（I）359

116有界函数与Riesz表示360

习题11361
第12章张量积与外积363

121引言与概述363

122张量积368

123线性变换及对偶374

124张量及其分量377

125外积380

126交错张量384

习题12389
附录394

1集合与映射394

2无限集与选择公理397

3拓扑空间399
习题答案与提示404
参考文献423
符号说明424
英\|中文名词索引426
中\|英文名词索引434