本书是国家工科数学教学基地之一的哈尔滨工业大学数学系根据教育部数学基础课程教学指导分委员会最新修订的《工科类本科数学基础课程教学基本要求（修订稿）》的精神和原则，结合多年的教学实践和研究而编写的系列教材之一。全书共8章，包括复数与复变函数、解析函数、复变函数的积分、级数、留数、保形映射、傅里叶变换、拉普拉斯变换等内容。每章后进行了简明的总结，便于学生深入掌握该章知识，并且精心设计了相应梯度的、适量的习题，在书后附有参考答案。书末附有傅氏变换和拉氏变换简表，便于读者查阅使用。书中标有*号部分供读者选学使用。
本书可作为高等工科院校各专业本科生的复变函数与积分变换课程教材，也可供有关工程技术人员参考。

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包革军、邢宇明、盖云英编著的《复变函数与积分变换(第3版普通高等教育十二五规划教材)》对基本概念的引入尽可能联系实际，突出其物理意义；基本理论的推导深入浅出，循序渐进，适合工科专业的特点；基本方法的阐述富于启发性，使学生能举一反三、融会贯通，以期达到培养学生创新能力的目的。

哈尔滨工业大学数学系、包革军、邢宇明、盖云英

目录
第三版前言
第二版前言
第一版前言
第1章 复数与复变函数 1
1.1 复数运算及几何表示 1
1.1.1 复数概念及四则运算 1
1.1.2 复数的几何表示 3
1.1.3 共辄复数 6
1.1.4 乘除、乘方与开方 8
1.1.5 复球面与无穷远点 13
1.2 复平面上的点集 14
1.2.1 基本概念 14
1.2.2 区域和曲线 14
1.3 复变函数 17
1.3.1 定义与几何意义 17
1.3.2 极限与连续性 20
第1章小结 23
习题1 25
第2章 解析函数 28
2.1 解析函数的概念 28
2.1.1 复变函数的导数 28
2.1.2 复变函数解析的概念 31
2.2 画数解析的充要条件 32
2.3 解析函数与调和函数 36
2.4 初等函数 43
2.4.1 指数函数 43
2.4.2 三角函数与双曲函数 46
2.4.3 对数函数 49
2.4.4 事函数 51
2.4.5 反三角函数与反双曲函数 53
2.5 解析函数的物理意义 54
2.5.1 用复变函数刻画平面向量场 54
2.5.2 平面流速场的复势 55
2.5.3 静电场的复势 57
2.5.4 平面稳定温度场 59
第2章小结 60
习题2 64
第3章 复变函数的积分 67
3.1 复变函数积分的概念 67
3.1.1 积分的定义 67
3.1.2 积分的性质 68
3.1.3 积分的存在条件与计算 69
3.2 柯西积分定理 73
3.2.1 柯西积分定理 73
3.2.2 不定积分 74
3.2.3 复合闭路定理 77
3.3 柯西积分公式 79
3.3.1 柯西积分公式 79
3.3.2 高阶导数公式 84
3.3.3 几个重要的推论 87
第3章小结 90
习题3 93
第4章 级数 96
4.1 复变函数项级数 96
4.1.1 复数序列 96
4.1.2 复数项级数 97
4.1.3 复变函数项级数 101
4.2 幕级数 105
4.2.1 事级数的概念 105
4.2.2 事级数的收敛圆与收敛半径 106
4.2.3 事级数的性质 110
4.2.4 事级数的运算 112
4.3 泰勒级数 116
4.3.1 泰勒（Taylor）展开定理 116
4.3.2 几个初等函数的事级数展开式 118
4.4 洛朗级数 122
4.4.1 格朗级数的概念及性质 123
4.4.2 洛朗展开定理 124
4.4.3 求解析函数的洛朗展开式的一些方法 127
第4章小结 130
习题4 134
第5章 留数 136
5.1 孤立奇点 136
5.1.1 解析函数的孤立奇点及分类 136
5.1.2 解析函数在有限孤立奇点的性质 138
5.1.3 解析函数的零点与极点的关系 140
5.1.4 解析函数在无穷孤立奇点的性质 142
5.2 留数 144
5.2.1 留数的定义及其计算规则 144
5.2.2 留数的基本定理148
5.3 留数在定积分计算中的应用 153
5.3.1 形如积分153
5.3.2 形如dx的积分155
5.3.3 形如积分 157
5.4 辐角原理与儒歇定理 162
5.4.1 对数留数 162
5.4.2 辐角原理 165
5.4.3 儒歇定理 166
第5章小结 169
习题5 173
第6章 保形映射 176
6.1 保形映射的概念 176
6.2 分式线性映射 179
6.3 分式线性映射的性质 185
6.4 两个重要的分式线性映射 190
6.4.1 将上半平面Imz＞0 映射成单位圆盘W＜1 的分式结性映射 190
6.4.2 将单位圆盘Izl＜1 映射为单位圆盘W1＜1 的分式线性映射 192
6.5 几个初等函数所构成的映射 194
6.5.1 幂函数 194
6.5.2 指数函数 199
6.5.3 儒可夫斯基函数 202
第6章小结 205
习题6 207
第7章 傅里叶变换 210
7.1 傅里叶积分与傅里叶积分定理 211
7.2 傅里叶变换与傅里叶逆变换 217
7.3 单位脉冲函数222
7.3.1 单位脉冲函数的概念 222
7.3.2 函数的性质 226
7.4 广义傅里叶变换 229
7.5 傅里叶变换的性质 232
7.6 卷积 241
7.6.1 卷积的概念 241
7.6.2 卷积的性质 245
7.6.3 卷积在傅氏变换中的应用 249
7.7 相关函数 251
7.7.1 互相关函数 251
7.7.2 自相关函数 255
7.8 傅里叶变换的应用 258
7.8.1 非周期函数的频谱 258
7.8.2 傅氏变换在求解方程中的应用举例 261
7.9 多维傅里叶变换 262
7.9.1 多锥傅氏变换的概念 263
7.9.2 多锥傅氏变换的性质 265
第7章小结 267
习题7 271
第8章 拉普拉斯变换 275
8.1 拉普拉斯变换的概念 275
8.1.1 拉氏变换的定义 275
8.1.2 拉氏变换的存在定理 277
8.2 拉普拉斯变换的性质(一) 285
8.3 拉普拉斯变换的性质(二) 294
8.3.1 初值和终值定理 294
8.3.2 卷积定理 297
8.4 拉普拉斯逆变换 301
8.5 拉普拉斯变换在解方程中的应用 307
第8章小结 312
习题8 315
参考文献 319
习题答案 320
附录 332
附录I 傅氏变换简表 332
附录II 拉氏变换简表 338

第1章 复数与复变函数
在本章里，我们先介绍复数系统的代数和几何结构，然后引进复变量的函
数――复变函数，进而介绍它的极限和连续性.
1.1 复数运算及几何表示
1.1.1 复数概念及四则运算
为了便于以后讨论，在这里回顾有关复数的基本定义及结论.
设x； y 为两实数，称形如
z = x+iy（或x+yi）
的数为复数，这里i 为虚单位，具有性质i2 = ?1.x 及y 分别称为z 的实部与虚部，
常记作
x = Rez； y = Imz
虚部为零的复数为实数，简记为x+i0 = x.因此，全体实数是复数的一部分.
特别记0+i0 = 0，即当且仅当z 的实部和虚部同时为零时复数z 为零.实部为零
且虚部不为零的复数称为纯虚数.如果两复数的实部和虚部分别相等，则称两复数
相等.
设
z1 = x1+iy1； z2 = x2+iy2
定义两复数z1； z2 的四则运算法则是
z1+z2 =（x1+iy1）+（x2+iy2） =（x1+x2）+i（y1+y2）（1∶1∶1）
z1 ? z2 =（x1+iy1） ?（x2+iy2） =（x1 ? x2）+i（y1 ? y2）（1∶1∶2）
z1 ￠ z2 =（x1+iy1）（x2+iy2） =（x1x2 ? y1y2）+i（x1y2+y1x2）（1∶1∶3）
如果z2 6= 0，则
z1
z2
= x1+iy1
x2+iy2
=
（x1+iy1）（x2 ? iy2）
（x2+iy2）（x2 ? iy2）
= x1x2+y1y2
x2
2+y2
2
+ ix2y1 ? x1y2
x2
2+y2
2
（1.1.4）
从式（1.1.1）? 式（1.1.4） 即知复数经过四则运算得到的仍旧是复数.又从式
（1.1.1） 和式（1.1.2） 以及实部与虚部的定义得出
Re（z1 § z2） = Rez1 § Rez2
Im（z1 § z2） = Imz1 § Imz2（1∶1∶5）
例1.1.1 化简i3；
i
1 ? i
+
1 ? i
i ∶
解i3 = i2 ￠ i = ?1 ￠ i = ? i
i
1 ? i
+
1 ? i
i
=
i2+（1 ? i）2
（1 ? i）i
= ?1 ? 2i
1+i
=
（?1 ? 2i）（1 ? i）
2
= ?
3
2 ?
1
2
i
例1.1.2 计算
（1）
2+3i
2 ? 3i
，（2）
2i
p3 ? i ?
3
p3i ? 1
.
解（1）
2+3i
2 ? 3i
=
（2+3i）2
（2 ? 3i）（2+3i）
=
4+12i ? 9
4+9
= ?
5
13
+
12
13
i
（2）
2i
p3 ? i ?
3
p3i ? 1
=
2i
p3 ? i ?
3
i（p3+i）
=
2i
p3 ? i
+
3i
p3+i
=
1
4
+
5p3
4
i
例1.1.3 已知x+yi =（2x ? 1）+y2i，求z = x+iy.
解比较等式两端的实部与虚部，得
x = 2x ? 1； x = 1
y = y2； y = 0 或y = 1
由此解得
z = 1 或z = 1+i
1.1.2 复数的几何表示
任意给定一个复数z = x+iy，都与一对有序实数（x； y） 相对应.而任意一对
有序实数（x； y） 都与平面直角坐标系中的点P（x； y） 对应，这样能够建立平面上的
全部点与全体复数间的一一对应关系，于是可用平面直角坐标系中的点来表示复数
（图1.1.1）.
表示复数z 的直角坐标平面称为复平面或z{平面，复平面也常用C 来表示.
因复平面上的x 轴上的点对应实数，y 轴上非零的点对应纯虚数，故称x 轴为实轴，
y 轴为虚轴.由于全体复数与复平面上的点的全体是一一对应的，以后把“点z”和
“复数z”作为同义词而不加区别.
在复平面上，如图1.1.1 所示，从原点O
到点P（x； y） 作向量?O?!P .我们看到复平面
上由原点出发的向量的全体与复数的全体C
之间也构成一一对应关系（复数0 对应着零
向量），因此也可以用向量?O?!P 来表示复数
z = x+iy∶
在物理学中，力、速度、加速度等都可用
向量表示，说明复数可以用来表示实有的物
理量.
图1.1.1
向量?O?!P 的长度r 称为复数z 的模或绝对值，记作jzj，即jzj = r.实轴正向转
到与向量?O?!P 方向一致时，所成的角度μ 称为复数的辐角，记作Argz，即Argz = μ.
复数0 的模为零，即j0j = 0，其辐角是不确定的.任何不为零的复数z 的辐角
Argz 均有无穷多个值，彼此之间相差2 的整数倍.通常把满足? < μ0 6 的辐
角值μ0 称为Argz 的主值，记作arg z，于是
Argz = arg z+2k； k = 0；§1；§2； …
并且可以用复数z 的实部与虚部来表示辐角主值arg z：
arg z =
8>
>><>>>∶
arctan y
x
； x > 0
arctan y
x
+ ； x < 0； y > 0
arctan y
x ? ； x < 0； y < 0
由直角坐标与极坐标的关系（图1.1.1），我们立即得到不为零的复数的实部、虚
部与该复数的模、辐角之间的关系
8<∶
r = jzj = px2+y2
tan μ = tan（Argz） = y
x
（1.1.6）
以及
（ x = r cos μ
y = r sin μ
（1.1.7）
于是复数z 又可表示为
z = x+iy = r（cos μ+i sin μ）（1.1.8）
式（1.1.8） 通常称为复数z 的三角表示式.如果再利用欧拉（Euler） 公式
eiμ = cos μ+i sin μ
又可以得到
z = reiμ（1.1.9）
这种形式称为复数的指数表示式.
在1.1.1 节中已经指出：两复数的实部与虚部分别相等，则称两复数相等.于
是从式（1.1.6） 与式（1.1.7） 即知两复数相等，其模必定相等，其辐角可以差2 的整
数倍（辐角如果都取主值，则应相等）.反之，如果复数的模及辐角分别相等，则从式
（1.1.8） 即知这两个复数必然相等.
因复数可用向量表示，故复数是既有大小、又有方向的量，所以两个复数，如果
不都是实数，就无法比较大小.但是，两个复数的模都是实数，就可以比较大小.
从图1.1.1 可以看出
?r 6 x； y 6 r
即
?jzj 6 Rez； Imz 6 jzj（1.1.10）
例1.1.4 求下列各复数的模及辐角.
（1）?2，（2）?i，（3）1+i.
解由z 平面上的对应点的位置，可以看出
（1）j ? 2j = 2，arg（?2） = ，Arg（?2） = +2k，k = 0；§1；§2； …
（2）j ? ij = 1，arg（?i） = ?

2
，Arg（?i） = ?

2
+ 2k，k = 0；§1；§2； …
（3）j1+ij = p12+12 = p2，arg（1+i） =
4
，Arg（1+i） =
4
+ 2k，k =
0；§1；§2； …
例1.1.5 将复数z = ?1 ? p3i 分别化为三角表示式和指数表示式.
解因为x = ?1； y = ?p3，所以
r = q（?1）2+（?
p3）2 = 2
又z 在第三象限内，于是
arg z = arctan ?p3
?1 ? = ?
2
3
所以
z = 2 ?cosμ?
2
3 ?+ i sinμ?
2
3 ??
由正、余弦函数的周期性，也可表为
图1.1.2
z = 2 ?cosμ?
2
3
+ 2k?+ i sinμ?
2
3
+ 2k??
相应的指数表示式为
z = 2e（?2
3 +2k）i； k = 0；§1；§2； …
以?O?!z1 和?O?!z2 为两邻边作一平行四边形Oz1zz2，通过图1.1.2 可以说明，复数的
加法、减法法则与向量的加法、减法法则一致.通过两向量的和与差的几何作图法，
在复平面中可以求出相应两复数的和z1+z2 与差z1 ? z2 的对应点.
图1.1.3
在图1.1.3 中，以向量?O?!z1 和
?O?!z2 为邻边的平行四边形的两条对
角线向量?O!z 及?z?2!z1 就分别对应于
复数z1+z2 及z1 ? z2.由于?! Oz 的
起点为原点O，因而终点z 所对应的
复数就是z1+z2； 而向量?z?2!z1 的起
点不是原点，经平移得起点为原点O
的向量?! OS，则终点S 所对应的复数
就是z1?z2.从图1.1.3 还可以看到，
jz1 ? z2j 表示复平面上两点z1 与z2
之间的距离.事实上，有
jz1 ? z2j = j（x1 ? x2）+i（y1 ? y2）j = p（x1 ? x2）2+（y1 ? y2）2
这正是平面上两点距离的表达式.
1.1.3 共轭复数
实部相等、虚部互为相反数的两个复数称为共轭复数.如果其中一个复数记作
z，则其共轭复数记作1z.于是
x ? iy = x+iy
由定义，显然z = z.特别地，实数的共轭复数是该实数本身； 反之，如果复数z
与它的共轭复数1z 相等，则这个复数便是一个实数.
由定义不难验证，两复数的和、差、积、商的共轭复数，分别等于这两复数的共
轭复数的和、差、积、商，即
z1 § z2 = z1 § z2（1.1.11）
z1 ￠ z2 = z1 ￠ z2（1.1.12）
μz1
z2?= z1
z2
（z2 6= 0）（1.1.13）
我们还可以用共轭复数来表示复数的实部与虚部以及模.例如
2Rez = z+z
2iImz = z ? z
zz = x2+y2 = jzj2
jzj = jzj
利用共轭复数的性质，我们能够比较容易地证明两个重要的不等式
jz1+z2j 6 jz1j+jz2j（1.1.14）
jz1 ? z2j > jjz1j ? jz2jj（1.1.15）
事实上，从共轭复数的性质，我们有
jz1+z2j2 =（z1+z2）（z1+z2） = z1z1+z2z1+z1z2+z2z2
= jz1j2+z1z2+z1z2+jz2j2 = jz1j2+2Re（z1z2）+jz2j2
6 jz1j2+2jz1jjz2j+jz2j2 =（jz1j+jz2j）2
由此可得不等式（1.1.14）.如将上式中z2 换成?z2，则有
jz1 ? z2j2 = jz1j2 ? 2Re（z1z2）+jz2j2