普林斯顿数学指南（第一卷）_高尔斯_9787030393210

《普林斯顿数学指南（第一分册）》是由Fields 奖得主T. Gowers 主编、133 位著名数学家共同参与撰写的大型文集. 《普林斯顿数学指南（第一分册）》由288 篇长篇论文和短篇条目构成, 目的是对20 世纪最后一二十年纯粹数学的发展给出一个概览, 以帮助青年数学家学习和研究其最活跃的部分, 这些论文和条目都可以独立阅读. 原书有八个部分, 除第Ⅰ部分是一个简短的引论、第Ⅷ部分是《普林斯顿数学指南（第一分册）》的“终曲”以外, 《普林斯顿数学指南（第一分册）》分为三大板块, 核心是第Ⅳ部分“数学的各个分支”, 共26 篇长文, 介绍了20 世纪最后一二十年纯粹数学研究中最重要的成果和最活跃的领域, 第Ⅲ部分“数学概念”和第Ⅴ部分“定理与问题”都是为它服务的短条目. 第二个板块是数学的历史, 由第Ⅱ部分“现代数学的起源”(共7 篇长文)和第Ⅵ部分“数学家传记”(96 位数学家的短篇传记)组成. 第三个板块是数学的应用, 即第Ⅶ部分“数学的影响”(14 篇长文章). 作为《普林斯顿数学指南（第一分册）》“终曲”的第Ⅷ部分“结束语：一些看法”则是对青年数学家的建议等7 篇文章.中译本分为三卷, 第一卷包括第Ⅰ~Ⅲ部分, 第二卷即第Ⅳ部分, 第三卷包括第Ⅴ~Ⅷ部分.

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第ⅠⅠ部分引论
　　I.1 数学是做什么的
　　要对“什么是数学”这样一个问题给出一个令人满意的回答,其困难是众所周知的.本书的处理途径是：不试图去回答它.我们不打算给出数学的定义,而是通过描述它的许多最重要的概念、定理和应用,使得对于什么是数学有一个好的看法.然而,想使这些材料的信息有意义,对于数学的内容作某种分类还是有必要的.
　　对数学进行分类最明显的方法是按照其内容来进行.这篇简短的引论以及下面比较长的条目如一些基本的数学定义[Ⅰ.3]就是采取的这个方法.但是,这并不是唯一的方法,甚至显然也不是最好的方法.另一种途径是按照数学家们喜欢思考的问题的类型来分类,这会给这门学科以一种不同的视角,而这是很有用的,时常有这样的情况,两个数学领域,如果您只注意它们的主题材料,可能看起来很不相同,但是如果您看一看它们考察的问题,则又十分相似.第Ⅰ部分的最后一个条目数学研究的一般目的[Ⅰ.4]就是从这个观点来观察数学的.在那篇文章末尾有一个简短的讨论,您可以把它看成是第三种分类,就是并不对数学本身来分类,而是对数学期刊的一篇典型论文内容的各个部分来分类.这篇论文里既有定理和证明,也有定义、例子、引理、公式、猜想等等.那里讨论的要点就是想说明这些词是什么意思,以及为什么数学的产出物里面的这些东西也是很重要的.
　　1. 代数、几何和分析
　　虽然一旦想把数学主题分类,就必定立即需要加上种种限制.然而有一个粗略的分类无疑可以作为最初的近似,这就是把数学分成代数、几何和分析.所以我们就以此开始,以后再作各种修饰.
　　1.1 代数与几何的对比
　　绝大多数读过中学的人都会把代数看成用字母代表数所得到的数学.时常会把代数与算术作一个对照：算术就是对数作更直接的研究.所以“3× 7=?”这样的问题就被认为是属于算术的,而“若x+y=10,而xy=21,则x与y中较大的一个取何值”就被看作是代数.在比较高水平的数学里面,这个对比就不那么显眼,原因也很简单,因为数字单独出现而不与字母相伴是极为罕见的.
　　然而,代数与几何之间就有着不同的对比,而且它在比较高深的水平上要重要得多.中学里关于几何的概念是：它是研究图形的,例如圆、三角形、立方体和球面,还有诸如旋转、反射、对称等等概念.这样,几何的对象以及这些对象所经历的过程,比之代数的方程,有着多得多的可视的特性.
这种对比一直持续到现代数学研究的前沿.数学有些部分涉及按

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