高中数学进阶 36 讲
贯通高考、强基与联赛
主 编 李鸿昌 曾吉相 武 敏
清华大学出版社
北 京
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图书在版编目(CIP)数据
高中数学进阶 36 讲 : 贯通高考、强基与联赛 / 李鸿昌, 曾吉相, 武敏主编. --北京:清华大学出版社,
2026. 2. -- ISBN 978-7-302-70833-9
Ⅰ.G634.603
中国国家版本馆 CIP 数据核字第 202622Z3Q8 号
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版 次:2026 年 3 月第 1 版 印 次:2026 年 3 月第 1 次印刷
定 价:99.00 元 (全两册)
产品编号:112955-01
编 委 会
主 编 李鸿昌 曾吉相 武 敏
顾 问 徐胜林 章 超 李 晟 杜 锟
副主编 王博渊 角碧波 成永深
肖国锡 汪明均 张正华
编 委 高成功 代红军 王 骞 魏路顺 游子藜
杨 洋 黎 军 李 勇 蒋 敏 孙 培
王 亚 曾 熊 邱一芳 刘云龙 刘 锐
李镇山 林 艾 向黎明 张 瑜 李伯刚
刘冠希 周培荷 龚智鸿 向 波 陈 珂
李智清 谢青秀 刘海军 李 伟 郑周强
雷应峡 岑义其 冯月田 涂 鑫 于 龙
曾 冲 李声涛 杨 伟 陈山江 汪 洋
前言
数学学科以其严密的公理体系、精妙的符号语言和深邃的思想内涵,已然成为当代人才培
养的罗盘——不仅指向高考战场,更校准着强基计划的学术航向,丈量着数学竞赛的思维海
拔.本书的诞生,正是为了构建一座连接知识平原与思维高峰的立体桥梁,为不同起点的攀登
者铺设渐进式成长路径.
对于高中生而言,数学学习的目标早已不再局限于高考的分数,强基计划和数学竞赛为其
提供了更为广阔的舞台,也带来了更高的挑战.高考培优要求学生在基础知识扎实的前提下,
能够灵活运用知识解决综合性问题;强基计划着重考查学生的创新思维与学科素养,选拔在基
础学科上有潜力的人才;而数学竞赛则是对学生数学思维深度与广度的极限挑战,需要学生具
备深厚的知识储备和卓越的解题能力.这些不同层次的需求,使得高中数学学习变得复杂而
多元.
本书在编写过程中,充分考虑到了这种多元化的需求,全面系统地梳理了高中数学竞赛知
识体系.本书共分为五部分,总计
36讲,内容丰富且层次分明,犹如一座精心构筑的数学大厦,
引领读者逐步攀登数学竞赛的高峰.
第一部分是基础知识,它犹如大厦的基石,稳固而坚实.此篇全面涉及高中知识的主要内
容,精准定位省级预赛、高考培优、强基计划以及高联一试的需求.题目难度设置独具匠心,相
较于高考题,仅略作提升,却在方法技巧上展现出了更为丰富的变化与灵活性,对思维强度的
要求也更为严苛.通过对这部分内容的深入学习,读者能够在巩固高中数学基础知识的同时,
初步领略数学竞赛思维的独特魅力,为后续的深入学习打下坚实的基础.
第二部分是初等数论,这是数学领域中一颗璀璨的明珠,散发着独特的神秘魅力.主要涵
盖整数的奇偶性和整除性、同余、不定方程、高斯函数以及初等数论的几个重要定理——费马
小定理、欧拉定理和威尔逊定理.这些重要定理的引入,更是将数论的深度与广度进一步拓
展,使读者能够站在更高的视角审视数论问题.
第三部分是代数,这是数学竞赛中不可或缺的重要板块.主要涉及多项式、不等式、数列
和复数等内容.多项式的研究深入其根与系数的关系、多项式的整除与因式分解等高级领域;
不等式的学习则突破了常规的解法,引入了各种巧妙的放缩技巧与构造方法,如柯西不等式、
均值不等式的灵活运用,能够帮助读者解决许多看似棘手的最值问题;数列部分,除了常见的
通项公式与求和公式的推导,还会深入探讨数列的递推关系、数列的极限以及数列在数学竞赛
中的独特应用;复数的学习则为读者打开了一个全新的数学视野,复数的几何意义、复数的运
算性质以及复数在代数和几何问题中的综合应用,都将极大地丰富读者的解题思路.
iv
/前言
第四部分是平面几何,它承载着数学的美感与严谨逻辑.主要涉及平面几何的著名定理,
如梅涅劳斯定理、塞瓦定理、托勒密定理、欧拉定理、西姆松定理和斯特瓦尔特定理等.这些定
理犹如平面几何领域的智慧结晶,蕴含着深刻的几何关系与美妙的数学原理.同时,本书还深
入剖析了平面几何的常考题型,包括四点共圆、共点线、共线点、垂直和圆问题等.通过对这些
著名定理的学习与常考题型的练习,读者能够不断提升自己的几何直观能力、逻辑推理能力和
空间想象能力.
第五部分是组合数学,它充满了创新与挑战.主要涉及集合的分拆、抽屉原则、容斥原理、
组合计数、组合几何、图论问题、染色问题等.组合数学以其独特的思维方式和解题策略,培养
读者的创新思维与综合运用知识的能力.其中,抽屉原则以其简洁而深刻的思想,在解决存在
性问题时屡建奇功;容斥原理则为处理复杂的计数问题提供了系统的方法;组合计数中的各种
计数技巧,如排列组合公式的灵活运用、递推计数法、分类计数法等,都考验着读者的思维敏捷
性与条理性;组合几何则将几何图形与组合思想相结合,产生出许多富有创意的问题;图论问
题和染色问题更是近年来数学竞赛中的热点,它们以新颖的形式和深刻的内涵,吸引着众多数
学爱好者深入探究.
在本书中,还涉及众多重要的数学思想方法,如化归思想,将复杂的问题转化为熟悉的问
题进行求解;构造思想,通过巧妙地构造数学模型来解决问题;对应思想,建立起不同数学对象
之间的联系;极端原理,从极端情况入手分析问题;抽屉原理,解决存在性与必然性问题;数学
归纳法,用于证明与自然数相关的命题;反证法,通过假设反面结论来推导矛盾;母函数法,将
组合问题转化为函数问题进行处理等.这些数学思想方法贯穿全书,犹如一条无形的线索,将
各个知识点串联起来,使读者在学习知识的同时,能够领悟到数学的深邃思想与智慧精髓.
值得一提的是本书收录了近些年的高联真题、全国各省的预赛真题以及清北强基真题,这
些真题具有极高的参考价值,能够让读者近距离感受各类竞赛的命题风格与难度水平,同时也
有助于读者了解数学竞赛的最新动态与趋势.为了进一步丰富本书的内容,还精心收录了作
者的部分原创题,这些原创题凝聚了作者多年的教学经验与数学智慧,具有独特的思维视角与
解题思路,能够为读者带来全新的学习体验与挑战.
然而,尽管在编写过程中付出了巨大的努力,但由于作者水平有限,书中难免会存在一些
不足之处.衷心地希望广大读者能够在使用本书的过程中,不吝批评指正,您的宝贵意见将是
我们不断完善与进步的动力源泉.期待本书能够成为广大数学竞赛爱好者的得力助手,陪伴
大家在数学竞赛的道路上砥砺前行,探索数学的无穷奥秘,收获知识与成长的喜悦.愿每一位
读者都能在数学的海洋中畅游,凭借对数学的热爱与执着,扬起理想的风帆,驶向成功的彼岸.
注:本书是
2022年贵州省教育科学规划课题重点课题“大概念视角下高中数学大单元作
业设计原理及案例研究”(课题编号:2022A052)的研究成果之一.
李鸿昌
2025年
12月于贵阳
目录
第一部分基础知识/1
第
1讲集合/1
第
2讲函数的基本性质/7
第
3讲数列/17
第
4讲三角函数/24
第讲反三角函数/36
第
6讲平面向量/41
第
7讲不等式/48
第
8讲立体几何/56
第
9讲函数最值与迭代/66
第讲直线与圆/75
第
11讲概率/83
第
12讲圆锥曲线/99
第
13讲导数/116
第二部分初等数论/125
第
14讲整数的奇偶性/125
第讲整数的整除性/129
第
16讲同余/133
第
17讲不定方程/140
第
18讲高斯函数
[..]/146
第三部分代数/152
第
19讲多项式/152
第讲常用的著名不等式/160
第
21讲证明不等式的方法与技巧/182
第
22讲数学归纳法/209
第
23讲数列的递推关系/216
第
24讲数列性质综合/227
第讲复数/236
vi
/目录
第四部分平面几何/246
第
26讲平面几何小题/246
第
27讲平面几何的重要定理/255
第
28讲几个经典的几何问题/263
第五部分组合数学/271
第
29讲集合的分拆/271
第
30讲抽屉原理/275
第
31讲容斥原理/280
第
32讲母函数/283
第
33讲组合计数/295
第
34讲组合几何/305
第
35讲图论/312
第
36讲染色问题/320