高中数学进阶 36 讲
贯通高考、强基与联赛
主 编 李鸿昌 曾吉相 武 敏
清华大学出版社
北 京
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图书在版编目（CIP）数据
高中数学进阶 36 讲 : 贯通高考、强基与联赛 / 李鸿昌, 曾吉相, 武敏主编. --北京：清华大学出版社,
2026. 2. -- ISBN 978-7-302-70833-9
Ⅰ．G634.603
中国国家版本馆 CIP 数据核字第 202622Z3Q8 号
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经 销：全国新华书店
开 本：210mm × 285mm 印 张：26.25 字 数：687 千字
版 次：2026 年 3 月第 1 版 印 次：2026 年 3 月第 1 次印刷
定 价：99.00 元 (全两册)
产品编号：112955-01
编 委 会
主 编 李鸿昌 曾吉相 武 敏
顾 问 徐胜林 章 超 李 晟 杜 锟
副主编 王博渊 角碧波 成永深
肖国锡 汪明均 张正华
编 委 高成功 代红军 王 骞 魏路顺 游子藜
杨 洋 黎 军 李 勇 蒋 敏 孙 培
王 亚 曾 熊 邱一芳 刘云龙 刘 锐
李镇山 林 艾 向黎明 张 瑜 李伯刚
刘冠希 周培荷 龚智鸿 向 波 陈 珂
李智清 谢青秀 刘海军 李 伟 郑周强
雷应峡 岑义其 冯月田 涂 鑫 于 龙
曾 冲 李声涛 杨 伟 陈山江 汪 洋
前言
数学学科以其严密的公理体系、精妙的符号语言和深邃的思想内涵，已然成为当代人才培
养的罗盘——不仅指向高考战场，更校准着强基计划的学术航向，丈量着数学竞赛的思维海
拔．本书的诞生，正是为了构建一座连接知识平原与思维高峰的立体桥梁，为不同起点的攀登
者铺设渐进式成长路径．
对于高中生而言，数学学习的目标早已不再局限于高考的分数，强基计划和数学竞赛为其
提供了更为广阔的舞台，也带来了更高的挑战．高考培优要求学生在基础知识扎实的前提下，
能够灵活运用知识解决综合性问题；强基计划着重考查学生的创新思维与学科素养，选拔在基
础学科上有潜力的人才；而数学竞赛则是对学生数学思维深度与广度的极限挑战，需要学生具
备深厚的知识储备和卓越的解题能力．这些不同层次的需求，使得高中数学学习变得复杂而
多元．
本书在编写过程中，充分考虑到了这种多元化的需求，全面系统地梳理了高中数学竞赛知
识体系．本书共分为五部分，总计
36讲，内容丰富且层次分明，犹如一座精心构筑的数学大厦，
引领读者逐步攀登数学竞赛的高峰．
第一部分是基础知识，它犹如大厦的基石，稳固而坚实．此篇全面涉及高中知识的主要内
容，精准定位省级预赛、高考培优、强基计划以及高联一试的需求．题目难度设置独具匠心，相
较于高考题，仅略作提升，却在方法技巧上展现出了更为丰富的变化与灵活性，对思维强度的
要求也更为严苛．通过对这部分内容的深入学习，读者能够在巩固高中数学基础知识的同时，
初步领略数学竞赛思维的独特魅力，为后续的深入学习打下坚实的基础．
第二部分是初等数论，这是数学领域中一颗璀璨的明珠，散发着独特的神秘魅力．主要涵
盖整数的奇偶性和整除性、同余、不定方程、高斯函数以及初等数论的几个重要定理——费马
小定理、欧拉定理和威尔逊定理．这些重要定理的引入，更是将数论的深度与广度进一步拓
展，使读者能够站在更高的视角审视数论问题．
第三部分是代数，这是数学竞赛中不可或缺的重要板块．主要涉及多项式、不等式、数列
和复数等内容．多项式的研究深入其根与系数的关系、多项式的整除与因式分解等高级领域；
不等式的学习则突破了常规的解法，引入了各种巧妙的放缩技巧与构造方法，如柯西不等式、
均值不等式的灵活运用，能够帮助读者解决许多看似棘手的最值问题；数列部分，除了常见的
通项公式与求和公式的推导，还会深入探讨数列的递推关系、数列的极限以及数列在数学竞赛
中的独特应用；复数的学习则为读者打开了一个全新的数学视野，复数的几何意义、复数的运
算性质以及复数在代数和几何问题中的综合应用，都将极大地丰富读者的解题思路．
iv
/前言
第四部分是平面几何，它承载着数学的美感与严谨逻辑．主要涉及平面几何的著名定理，
如梅涅劳斯定理、塞瓦定理、托勒密定理、欧拉定理、西姆松定理和斯特瓦尔特定理等．这些定
理犹如平面几何领域的智慧结晶，蕴含着深刻的几何关系与美妙的数学原理．同时，本书还深
入剖析了平面几何的常考题型，包括四点共圆、共点线、共线点、垂直和圆问题等．通过对这些
著名定理的学习与常考题型的练习，读者能够不断提升自己的几何直观能力、逻辑推理能力和
空间想象能力．
第五部分是组合数学，它充满了创新与挑战．主要涉及集合的分拆、抽屉原则、容斥原理、
组合计数、组合几何、图论问题、染色问题等．组合数学以其独特的思维方式和解题策略，培养
读者的创新思维与综合运用知识的能力．其中，抽屉原则以其简洁而深刻的思想，在解决存在
性问题时屡建奇功；容斥原理则为处理复杂的计数问题提供了系统的方法；组合计数中的各种
计数技巧，如排列组合公式的灵活运用、递推计数法、分类计数法等，都考验着读者的思维敏捷
性与条理性；组合几何则将几何图形与组合思想相结合，产生出许多富有创意的问题；图论问
题和染色问题更是近年来数学竞赛中的热点，它们以新颖的形式和深刻的内涵，吸引着众多数
学爱好者深入探究．
在本书中，还涉及众多重要的数学思想方法，如化归思想，将复杂的问题转化为熟悉的问
题进行求解；构造思想，通过巧妙地构造数学模型来解决问题；对应思想，建立起不同数学对象
之间的联系；极端原理，从极端情况入手分析问题；抽屉原理，解决存在性与必然性问题；数学
归纳法，用于证明与自然数相关的命题；反证法，通过假设反面结论来推导矛盾；母函数法，将
组合问题转化为函数问题进行处理等．这些数学思想方法贯穿全书，犹如一条无形的线索，将
各个知识点串联起来，使读者在学习知识的同时，能够领悟到数学的深邃思想与智慧精髓．
值得一提的是本书收录了近些年的高联真题、全国各省的预赛真题以及清北强基真题，这
些真题具有极高的参考价值，能够让读者近距离感受各类竞赛的命题风格与难度水平，同时也
有助于读者了解数学竞赛的最新动态与趋势．为了进一步丰富本书的内容，还精心收录了作
者的部分原创题，这些原创题凝聚了作者多年的教学经验与数学智慧，具有独特的思维视角与
解题思路，能够为读者带来全新的学习体验与挑战．
然而，尽管在编写过程中付出了巨大的努力，但由于作者水平有限，书中难免会存在一些
不足之处．衷心地希望广大读者能够在使用本书的过程中，不吝批评指正，您的宝贵意见将是
我们不断完善与进步的动力源泉．期待本书能够成为广大数学竞赛爱好者的得力助手，陪伴
大家在数学竞赛的道路上砥砺前行，探索数学的无穷奥秘，收获知识与成长的喜悦．愿每一位
读者都能在数学的海洋中畅游，凭借对数学的热爱与执着，扬起理想的风帆，驶向成功的彼岸．
注：本书是
2022年贵州省教育科学规划课题重点课题“大概念视角下高中数学大单元作
业设计原理及案例研究”（课题编号：2022A052）的研究成果之一．
李鸿昌
2025年
12月于贵阳
目录
第一部分基础知识/1
第
1讲集合/1
第
2讲函数的基本性质/7
第
3讲数列/17
第
4讲三角函数/24
第讲反三角函数/36
第
6讲平面向量/41
第
7讲不等式/48
第
8讲立体几何/56
第
9讲函数最值与迭代/66
第讲直线与圆/75
第
11讲概率/83
第
12讲圆锥曲线/99
第
13讲导数/116
第二部分初等数论/125
第
14讲整数的奇偶性/125
第讲整数的整除性/129
第
16讲同余/133
第
17讲不定方程/140
第
18讲高斯函数
[..]/146
第三部分代数/152
第
19讲多项式/152
第讲常用的著名不等式/160
第
21讲证明不等式的方法与技巧/182
第
22讲数学归纳法/209
第
23讲数列的递推关系/216
第
24讲数列性质综合/227
第讲复数/236
vi
/目录
第四部分平面几何/246
第
26讲平面几何小题/246
第
27讲平面几何的重要定理/255
第
28讲几个经典的几何问题/263
第五部分组合数学/271
第
29讲集合的分拆/271
第
30讲抽屉原理/275
第
31讲容斥原理/280
第
32讲母函数/283
第
33讲组合计数/295
第
34讲组合几何/305
第
35讲图论/312
第
36讲染色问题/320
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