高等代数是数学专业考研的必考课程,本书是作者在积累了多年为数学专业本科生进行高等代数考研辅导的经验的基础上编写而成的.全书共9章,包括行列式、线性方程组、矩阵、多项式、二次型、线性空间、线性变换、λ-矩阵、欧氏空间等内容.
书中对很多高校近年的高等代数考研高频真题进行了分类解析,力求使读者能够举一反三,熟悉考试中经常出现的题型,并且掌握每种题型的解法.同时对很多真题给出了多种解法,有助于开阔学生的视野与解题思路.
本书具有真题丰富、分类精解、解法多样的特点,非常适合作为研究生入学考试复习用书,也适合用作高等代数教学参考书.

适合作为研究生入学考试复习用书,也适合用作高等代数教学参考书 

第 2版前言
本书第 1版自 2018年出版以来,得到了广大读者的支持、关心与肯定,我们陆续收到了很多读者的意见以及建议,有许多同学希望再版,同时在教学实践过程中,我们也积累了一些资料,为此开始了本书的第 2版修订.
本书第 2版保留了第 1版的框架与特色,同时在以下几个方面做了修改或者完善.1.更正了第 1版中发现的错误与不当之处.2.部分问题增加了一种或者多种解法或者证明方法,使得方法更全面.3.增加了近几年的各个高校的考研真题,紧跟命题趋势.4.对所有练习题提供解答或者提示.5.增加了更多的题目,由第 1版的 900多道题目增加到 1400多道题目.特别感谢王利广老师对本书的出版给予了大力支持和帮助,同时感谢机械工业出版社各位
编辑的工作.在此也感谢使用本书第 1版的各位同学、老师提出的宝贵意见与建议.由于编者水平有限,不妥之处在所难免,恳请读者指出、批评、赐教,如有任何问题,可以发邮件至:chenxianping@lcu.edu.cn或 zhangb2015@qfnu.edu.cn.
本书的出版获得了山东省本科教学改革研究面上项目(编号:M2021123)和曲阜师范大学教学改革研究项目(编号:2023jg29)的资助.
编　者
第 1版前言
高等代数是数学专业学生的一门重要的专业基础课,也是各高校数学类专业研究生入学考试必考的科目之一.
本书编者多年来一直从事高等代数教学与高等代数考研辅导工作,为了使学生深入理解高等代数的内容,掌握处理问题的方法与技巧,提高分析问题与解决问题的能力,我们精选了国内 100多所高校多年的研究生入学考试高等代数试题,并对题目进行了分类整理与解答研究,总结了高等代数解题的基本方法,在此基础上编写了本书.
本书有以下特点:
1.题目数量多,大约有 900道题目,并且绝大部分都是各个学校往年的考研真题.
2.题目按照类型或者方法归类,按照先易后难的顺序排列,使得学生易于理解,并且容易举一反三,提高解题能力.
3.很多题目给出了多种解法,有助于学生对题目有更深入的理解,开阔解题思路.
4.免费提供问题解答与问题讨论 ,请加入 QQ群:816310654(高等代数考研 -高频真题分类精解 300例问题解答群)
特别感谢王利广老师对本书的出版给予了大力支持和帮助,同时感谢机械工业出版社各位编辑的工作.在此也感谢使用本书的各位同学、老师提出的宝贵意见与建议.由于编者水平有限,不妥之处在所难免,恳请读者指出、批评、赐教,如有任何问题,可以邮件至:chenxianping@lcu.edu.cn或 zhangb2015@qfnu.edu.cn.
编.者

高等院校教师

目　　录
第 2版前言第 1版前言
第 1章　行列式 1
1.1　行列式的计算方法 1
1.1.1　化三角形法 1
1.1.2　降阶法 2
1.1.3　加边法 7
1.1.4　递推法 11
1.1.5　利用已知行列式 15
1.1.6　数学归纳法 19
1.1.7　定义法 20
1.2　行列式的计算公式 22
1.3　代数余子式求和问题 37
1.4　其他问题 50
第 2章　线性方程组 54
2.1　线性方程组的基本问题 54
2.1.1　方程组的求解 54
2.1.2　方程组解的性质与结构 62
2.2　线性方程组的公共解与同解的定义及理论 70
2.2.1　公共解问题 71
2.2.2　同解问题 72
2.2.3　应用 74
2.3　线性方程组理论的应用 80
2.4　线性相关 (无关 ) 94
2.5　线性方程组的反问题 100
2.5.1　齐次线性方程组的反问题 100
2.5.2　非齐次线性方程组的反问题 103
2.6　其他问题 104
第 3章　矩阵 108
3.1　矩阵运算 108
3.1.1　矩阵乘法 108
3.1.2　方阵的幂 110
3.1.3　方阵的行列式 116
3.1.4　方阵的逆 117
3.1.5　矩阵方程 135
3.1.6　初等变换与初等矩阵 138
3.2　矩阵的秩 139
3.2.1　矩阵秩的等式与不等式 139
3.2.2　矩阵秩的证明问题的处理方法 139
3.2.3　行 (列 )满秩矩阵 154
3.2.4　秩 1矩阵的性质及其应用 159
3.3　矩阵分解 165
3.3.1　利用等价标准形 165
3.3.2　利用合同标准形 169
3.3.3　利用相似标准形 176
3.3.4　其他 176
3.4　伴随矩阵 179
3.4.1　伴随矩阵定义及基本结论 179
3.4.2　伴随矩阵的性质 179
3.4.3　伴随矩阵的反问题 183
3.4.4　例题 186
3.5　其他问题 190
第 4章　多项式 194
4.1　带余除法 194
4.1.1　带余除法定理 194
4.1.2　带余除法定理的应用 194
4.2　整除 200
4.2.1　整除的定义及性质 200
4.2.2　整除的证明方法 201
4.3　最大公因式 212
4.3.1　定义 212
4.3.2　最大公因式的性质 212
4.3.3　最大公因式的求解 212
4.3.4　最大公因式的证明方法 213
4.4　互素 218
4.4.1　定义 218
4.4.2　性质 218
4.4.3　互素的证明方法 218
4.5　不可约多项式 222
4.5.1　定义 222
4.5.2　性质 222
4.5.3　证明方法 223
4.6　有理数域上的不可约问题 226
4.6.1　基本问题 226
4.6.2　例题 227
4.7　重因式 239
4.7.1　定义 239
4.7.2　证明方法 239
4.7.3　例题 239
4.8　多项式函数与多项式的根 242
4.8.1　重根 242
4.8.2　多项式根与系数的关系 246
4.8.3　有理根 250
4.8.4　例题 252
4.9　其他问题 256
第 5章　二次型 260
5.1　二次型的标准形与规范形 260
5.2　正定矩阵 282
5.3　半正定矩阵 296
5.4　同时合同对角化 298
5.5　实反对称矩阵 309
5.5.1　实反对称矩阵的性质 309
5.5.2　例题 311
第 6章　线性空间 317
6.1　线性空间、子空间的判断及基与维数的求法 317
6.2　和与直和 337
6.2.1　维数公式 337
6.2.2　直和 338
第 7章　线性变换 350
7.1　特殊的线性变换 350
7.1.1　与多项式有关的线性变换 350
7.1.2　幂等 (对合 )变换 354
7.1.3　幂零变换 362
7.2　线性映射 377
7.3　值域、核 379
7.4　不变子空间 385
7.5　线性变换与矩阵 390
7.6　特征值和特征向量 392
7.6.1　特征值和特征向量的定义、性质与求法 392
7.6.2　对角化 404
7.6.3　公共特征值与特征向量 410
7.7　其他问题 419
第 8章　λ-矩阵 421
8.1　三因子、标准形、特征多项式和特征值的关系 421
8.2　相似矩阵的判断 422
8.3　同时相似对角化 425
8.4　若尔当标准形及应用 431
8.4.1　若尔当块的性质 431
8.4.2　若尔当标准形的应用 435
第 9章　欧氏空间 444
9.1　内积 444
9.2　正交补子空间 448
9.3　正交变换与正交矩阵 452
9.4　对称变换 464
9.5　反对称变换 467
9.6　其他问题 468
参考文献 470