许多人在微积分基本定理的帮助下解决了一个又一个积分问题,但却对这份珍贵的礼物视而不见,对于这种现象,在畅销书《微积分的力量》(微积分能有畅销书可是罕见的)中,作者举了个古老的笑话鱼问它的朋友道:你难道不感激水吗?另一条鱼反问道:水是什么?
毋庸讳言,很长一段时间以来,学生听过很多的话就是:这个不考,大家不用看了这些要是不理解就记住吧,考试能拿上分就行得数学者得天下选择、填空要不择手段,蒙也得蒙对……为了考试,师生只关注考试要考的;为了考试,学生专注于刷题,以小镇做题家为荣,练习只是为了敲门,学习完全异化,根本无暇发现数学中的人文内涵,更没时间慢下来欣赏数学中的风景;为了考试,老师将考试题型和解题套路固化和八股化,学生照猫画虎,对于证明题,有的甚至背诵下来,考完即弃,完全缺乏创造精神;……按郑也夫先生在《吾国教育病理》中的说法,这些教育异化现象的病原是学历军备竞赛.在这种大环境下,学生直奔主题,更关注题目的详细解答在哪里,至于你的思考过程,我不感兴趣.
众所周知,数学以抽象而闻名,而且数学抽象是有层次的.史宁中先生进一步指出: 初次抽象是基于现实的抽象,是感性具体到理性具体的过程;第二次抽象则是基于逻辑的抽象,是符号化、形式化和公理化的过程,是理性具体到理性一般的过程,教科书一般表现为定义定理和公式例题和应用.初次抽象才是更本质的抽象,因为它创造了新的概念、运算法则和基本原理,更有利于创新精神的培养.而要展示它的过程,一般需要采用启发式教学,这就带来了困惑: 课堂上说的话很绕,编出的书很厚,满是大量的文字却只有少量的公式,不符合一般人对数学书的认知.
司马云杰先生在《文化社会学》一书中强调,社会文化基础对国家民族生存绵延的重要性,其中所谓社会文化基础,指的是一个国家民族社会历史生活中由天德、王道、礼教、人心、人性、伦理、道德、宗教、哲学及其信仰、信念等所构成的社会历史根本存在.欲知大道,必先为史.灭人之国,必先去其史,欲灭其族,必先灭其文化.(龚自珍)如今,越来越多的人已经意识到文化的重要性,比如清华大学和华东师范大学的校长们都在向新生推荐《从一到无穷大》等科普名著.那么数学的文化基础是什么呢? 社会变迁会带来文化变迁,而思想是数学的物质形态,文化则是数学的时代形态.所以要从数学文化上找到破解之道,那么又该怎样破题呢?
结合数学通识教育的课程要求、学生的数学基础以及作者自身的教学风格,本书打算从趣精浅上来做文章: (1) 趣,即通过各种趣味性的数学历史掌故和接地气的语言叙述,展示数学和数学人生动活泼、有趣滑稽的一面.作者认为,数学文化,首先要展示数学人的人性,展示数学人作为人的喜怒哀乐.本书取名《数学大观园》,就是化用蒋勋先生将《红楼梦》品读为秘密的青春王国的理念,希望能让读者重拾对数学当初的喜爱和热情.(2) 精,即精心选择经典的数学基础知识,重新进行趣味性、思想性乃至哲理性的品读,以期提升学生的数学文化水平、数学思维高度和数学思想深度.(3) 浅,即凡教材中所涉及的知识和方法均以浅显介绍为主,不回避数学符号,保留简单初步的运算,同时尽量减少复杂烦琐的运算.
为了实现这种理念,本书从三个方面进行了递进式铺陈: (1) 数学观的纠偏和重塑.先引导读者从大众、影视和数学人等视角来观照数学,然后观瞻数学大都会的概貌,之后则从哲学和文化两个视角进一步领略数学中的人文关怀.(2) 数宇探秘,即探索数的秘密.这自然要从自然数出发,先谈趣闻再说史话,然后欣赏数学王冠上的一些珍宝,接下来就是数宇的扩张之旅: 无理数虚数超复数,之后则将视线聚焦到特殊的三大常数(因涉及微积分知识,本部分内容置于书末).(3) 微积分的探索之旅.先花费较大笔墨精心论述微积分的核心知识,即极限、微分和积分,然后再佐以微积分激动人心的发展史.唯冀能通过这样的组合式叙述,使读者能充分领悟到微积分的知识.如此破题数学文化基础,功效如何,在前述数学人文教育匮乏的大背景下,小明只能怀着忐忑又期望的心情拭目以待.
在前文所述教育生态的影响下,本书中的大量数学知识和史实,许多学生,甚至一些教师,恐怕都未知一二.比如,有的高数老师不知道洛必达法则的真正发明人,有的线代老师没听说过数值线性代数……
本书部分内容曾在华东理工大学数学学院专业选修课程数学文化以及辅修课程数学思想与方法上讲授多轮.感谢修读这些课程的同学们,希望你们的课堂表现和所思所想已经化入书中.
临近交稿之际,惊悉导师田万海先生(19372021)驾鹤西去.调查全国数学教学为国定策,研究古今初等代数泽被数代.先生主持的全国义务教育数学教学质量调查,荣获原国家科委科技进步一等奖;与其他学者合作编著的《初等代数研究》教材,已经累计印刷达36次,发行逾百万套.作为改革开放以来我国数学教育学科的重要奠基人之一,先生仅此两项成果就让同侪艳羡不已,后学难望其项背.先生为人更是谦逊正直,一贯要求弟子要讲真话、做真事、解决真问题,真是为数学教育而生之人! 谨以此书向先生致以诚挚的仰慕和深切的怀念!
1 数学是何物………………………………………………………………………… 1
1.1 众说纷纭的数学……………………………………………………………………… 1
1.1.1 大众眼中的数学………………………………………………………………… 1
1.1.2 影视作品中的数学……………………………………………………………… 2
1.1.3 数学人眼中的数学……………………………………………………………… 5
1.2 数学概观……………………………………………………………………………… 7
1.2.1 经典数学概观…………………………………………………………………… 8
1.2.2 现代数学概观…………………………………………………………………… 10
1.3 数学与哲学…………………………………………………………………………… 13
1.3.1 数学哲学的历史视角…………………………………………………………… 13
1.3.2 数学哲学的现代视角…………………………………………………………… 17
1.4 数学与文化…………………………………………………………………………… 20
1.4.1 文化视角下的数学……………………………………………………………… 20
1.4.2 数学的文化多样性……………………………………………………………… 22
2 自然数探秘……………………………………………………………………… 28
2.1 自然数趣话…………………………………………………………………………… 28
2.1.1 科幻中的名数…………………………………………………………………… 28
2.1.2 拉马努金数和水仙花数………………………………………………………… 29
2.1.3 怪兽数、缺8数和圣数………………………………………………………… 30
2.2 自然数史话…………………………………………………………………………… 33
2.2.1 从前有个数……………………………………………………………………… 33
2.2.2 数字神秘主义…………………………………………………………………… 41
2.3 数学的王冠…………………………………………………………………………… 47
2.3.1 完全数与梅森数………………………………………………………………… 47
2.3.2 亲和数…………………………………………………………………………… 49
2.3.3 勾股定理、勾股数和费马大定理……………………………………………… 51
2.3.4 斐波那契数……………………………………………………………………… 57
3 数宇的扩张……………………………………………………………………… 64
3.1 无理数的那些事儿…………………………………………………………………… 64
3.1.1 无理数的发现…………………………………………………………………… 64
3.1.2 什么是无理数…………………………………………………………………… 69
3.1.3 代数数…………………………………………………………………………… 72
3.2 虚数的故事…………………………………………………………………………… 77
3.2.1 虚数i引发大海啸 …………………………………………………………… 77
3.2.2 虚数i的漫长接受史…………………………………………………………… 83
3.3 超复数及尺规作图…………………………………………………………………… 88
3.3.1 超复数…………………………………………………………………………… 88
3.3.2 尺规作图………………………………………………………………………… 91
4 微积分之旅(上) ………………………………………………………………… 97
4.1 极限的概念和运算…………………………………………………………………… 97
4.1.1 数列极限的定义和运算………………………………………………………… 97
4.1.2 函数极限的定义和运算……………………………………………………… 101
4.2 特殊极限…………………………………………………………………………… 108
4.2.1 无穷小………………………………………………………………………… 108
4.2.2 函数的连续性………………………………………………………………… 112
4.2.3 幂指函数的极限……………………………………………………………… 114
4.3 微分学……………………………………………………………………………… 117
4.3.1 导数的定义和求导公式……………………………………………………… 117
4.3.2 微分的概念…………………………………………………………………… 121
4.3.3 导数的运算法则……………………………………………………………… 124
4.4 微分学的应用……………………………………………………………………… 128
4.4.1 洛必达法则…………………………………………………………………… 128
4.4.1 函数的单调性和极值………………………………………………………… 130
5 微积分之旅(下) ……………………………………………………………… 136
5.1 积分的概念………………………………………………………………………… 136
5.1.1 不定积分的概念和公式……………………………………………………… 136
5.2.2 定积分的概念和性质………………………………………………………… 139
5.2.3 微元法及其几何应用………………………………………………………… 142
5.2 微积分基本定理…………………………………………………………………… 145
5.2.1 变上限积分和微积分基本定理……………………………………………… 145
5.2.2 初试啼声: 定积分的直接积分法…………………………………………… 148
5.3 积分的计算………………………………………………………………………… 150
5.3.1 分部积分法…………………………………………………………………… 150
5.3.2 不定积分的换元积分法……………………………………………………… 152
5.3.3 定积分的换元积分法………………………………………………………… 158
5.4 级数和微分方程初步……………………………………………………………… 160
5.4.1 级数初步……………………………………………………………………… 161
5.4.2 微分方程初步………………………………………………………………… 165
6 驯服无穷………………………………………………………………………… 167
6.1 微积分的先驱……………………………………………………………………… 167
6.1.1 言必称希腊…………………………………………………………………… 167
6.1.2 积分的酝酿…………………………………………………………………… 173
6.1.3 微分的酝酿…………………………………………………………………… 177
6.2 微积分的创立……………………………………………………………………… 182
6.2.1 牛顿的流数术………………………………………………………………… 182
6.2.2 莱布尼茨的无穷小算法……………………………………………………… 190
6.3 微积分的严格化…………………………………………………………………… 196
6.3.1 狂飙世纪……………………………………………………………………… 196
6.3.2 驯化幽灵 …………………………………………………………………… 205
7 三大常数的秘密……………………………………………………………… 214
7.1 的密码…………………………………………………………………………… 214
7.1.1 的文化初体验……………………………………………………………… 214
7.1.2 的计算史…………………………………………………………………… 216
7.1.3 到底是什么………………………………………………………………… 227
7.2 黄金数和 ……………………………………………………………………… 230
7.2.1 数学中的黄金数……………………………………………………………… 230
7.2.2 天空中的黄金率……………………………………………………………… 235
7.2.3 绘画中的黄金分割…………………………………………………………… 241
7.3 e的故事……………………………………………………………………………… 243
7.3.1 无处不在的e ………………………………………………………………… 243
7.3.2 数学殿堂中的e ……………………………………………………………… 247
7.3.3 先有对数,后有指数…………………………………………………………… 251
书单推荐
