激波反射的数学分析(现代数学丛书)_陈恕行_9787547840160

激波（或称冲击波）的产生与传播是一个普遍的物理现象。例如在连续介质中的爆破通常会产生一个激波由爆破源往外传播，在超过音速的高速飞行物体前方通常也总会有一个激波随之一起运动。在空气动力学的研究中激波的运动（包括其生成、传播、反射等）占着极其重要的地位，对激波运动的理论研究涉及许多困难的数学问题。本书以偏微分方程为主要工具对激波反射所涉及的数学问题做深入的分析。为方便读者，本书结合以后展开讨论的需要先介绍流体力学方程组以及激波的一些基本事项，然后对定常与非定常的激波反射，正则反射与马赫反射都逐一进行分析，并对其中一些重点的问题给出详细的数学证明。同时，本书也提出一些未解决的问题并指出其中会遇到的困难，期待后续研究能有新的推进。本书适合有关专业的研究生与科研人员、工程技术人员阅读，希望能有助于读者迅速进入这一研究领域。

在连续介质 (如流体)的运动中激波 (或称冲击波)的产生与传播是一个普遍的物理现象.例如，在连续介质中的爆破通常会产生一个激波由爆破源往外传播.在

超过音速的高速飞行物体前方通常也总会有一个激波随之一起运动.激波的特点是在一个很薄的运动介质薄层中介质的状态发生急剧变化，从而在激波的前方与后方，介质的物理参量例如速度、压力、密度、温度等均会有显著的变化.激波的出现对其周围运动介质的物理状态将会产生极大的影响.当激波运动遇上障碍物被反射时，其反射会表现出巨大的威力或破坏力.因此，对于激波的生成、传播以及反射过程的深入了解极其重要，它也往往是相关的工程技术的关键点，受到特别的关注.由于激波以及它可能遇到的障碍物类型各异，所以由激波反射所导致的流场与非线性波结构可以十分复杂，从而精确地了解激波反射的过程及其所导致的效应既十分重要又相当困难.

通常人们通过理论、实验以及计算三种方法对流体力学的各类问题包括激波运动展开研究.理论研究提供研究对象的定性特征，从而为实验与计算研究提供理论支持，其成果广泛地应用于工程技术.由于理论研究往往是在许多理想的假定下进行的，实际问题往往比这些理想的假定条件要复杂得多，随着科学技术的发展与研究的深入，对理论研究的要求也越来越高.例如，在激波反射问题中当假设入射激波与作为障碍物的表面都是平面时，现有的理论分析可以准确地给出反射激波的位置以及波后的流动状态.但一般情形下入射激波与障碍物的表面不是平面，那时就必须用更深入的数学工具，将所研究的问题归结为偏微分方程的边值问题来处理.这时，关于相应问题解的存在性、稳定性等理论分析成果还是相当欠缺的.可以说与实验和计算技术相比，现有的理论研究还相对比较粗糙，特别是用数学分析方法进行精确理论分析的研究是相对滞后的.

实验或数值计算虽然能提供发展工程技术所需要的数据，但实验或数值计算正是在正确的理论指导下展开的.由于近代工程技术的发展对数据的要求越来越高，如果能用近代的数学工具提供精确的理论分析，将能为实验与数值计算提供坚实的理论基础，或有可能提供新的计算方法，实质性地增强所获得成果的可靠性.著名的数学家与力学家R.Courant在其名著《超音速流与激波》(Supersonic Flow and Shock Waves)[31]中这样写：工程师与物理学家对数学分析结果的信心最终应依赖于证明所得到的解是由问题的资料所唯一决定.为将本书中所介绍的理论发展到这样一个层次，使它满足应用的需要，又符合自然科学发展的要求，尚需做出巨大的努力.这段话应该是对于用数学分析方法对诸多物理问题进行理论研究重要性的很好的诠释.

本书将以偏微分方程为主要工具对激波反射所涉及的数学问题做深入的分析.我们知道，激波反射一般是一个运动的过程，因此它在流体力学问题的研究中属于与时间相关的非定常流问题.然而，在特定的条件下，它可以关于时间是稳定不变的，或者可以选取跟随质点运动的坐标系使得在此坐标系中激波及其周围流场参量与时间无关，从而可以作为定常流问题进行讨论.本书中将先后对定常流与非定常流中的激波反射现象进行讨论.

激波反射现象的一个特点是随着激波入射角的不同，在反射点附近会出现完全不同的非线性波结构.通常有类似于线性波反射的正则反射结构与完全不同于前者的含三叉交点的Mach结构.含Mach结构的激波反射称为Mach反射，Mach结构的出现，使得对于激波反射的研究陡增了复杂性.我们将在本书中对于正则反射与Mach反射局部解的存在性与稳定性给予证明，它对于了解与建立激波反射完整的数学理论是基本的.

激波反射问题的求解不仅与反射点附近的给定条件有关，它通常还依赖于远处的环境条件，所以必须研究激波反射问题的整体解.但由于大范围的条件往往十分复杂且不容易确定，故整体解的研究也更为困难.可喜的是，现在对一些特定的问题的研究已有了一定的进展.

本书第一章先介绍流体力学方程组以及激波的一些基本事项，它在后续讨论中被反复用到，其主要内容可以在[31]、[60]中找到.第二章集中讨论激波极线的性质，这些性质对于研究激波运动的数学分析是必要的，但以往这些性质的阐述或证明常散见于不同的文献中，在本书中我们对此做了集中的归纳，有些性质

(特别是关于位势流方程激波极线的性质)是第一次明确地提出与证明.第三章介绍定常激波正则反射的数学分析，由于这个问题与超音速流对于具尖前缘楔形物体的绕流问题在数学处理上本质上一致，故在讨论二维空间中定常激波反射问题时采用了[48]中发展的方法，在讨论三维空间中定常激波反射问题时采用了[17]中发展的方法.第四章介绍定常激波Mach反射的数学分析，按物理问题的不同特性可分为E{E型的Mach反射与E{H型的Mach反射，这一章的内容主要取自[19]与[24].第五章讨论非定常激波反射的数学分析，其各节内容分别取自[15]、[10]、[20].第六章中列出了一些尚未解决而颇具挑战性的问题，对激波反射问题的研究今后的发展做了展望.G.Ben-Dor在其著作《激波反射现象》(Shock Waves Reection Phenomena)一书中详细地介绍与分析了激波反射中出现的各种现象与实验研究成果[5].从中更可以看到利用以偏微分方程为基础的数学理论对激波反射中诸多问题的研究还处于起步阶段，很多问题有待研究与解决.笔者希望本书的出版能引起读者的兴趣，并为其进入这一研究领域作必要的准备，更期待后续研究能有新的推进.

在本书的写作中笔者还参考了许多其他文献中的方法与成果，均在引用时有所注明.此外，笔者还与学术界同行有过许多讨论，得益匪浅，在此一并表示感谢.然而由于笔者能力与知识的局限，在本书的取材与阐述上仍有很多不足之处.恳切地盼望读者们能给予指正与帮助.

陈恕行

2018年2月1日

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